a) Bổ đề: Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Lúc đó AH=BC cot(BAC).
Chứng minh bổ đề: BH cắt AC tại K. Ta có tam giác AHK đồng dạng tam giác BKC suy ra AH/BC=AK/BK=cot (BAC) suy ra AH=BC cot(BAC).
Ta có góc CAH= góc BCH suy ra góc CAI= góc JBC suy ra góc CAI+ góc JCA= góc JBC + góc JCA=90
Suy ra AI vuông góc CJ, tương tự ta có BJ vuông góc CI.
Từ đây suy ra K là trực tâm của tam giác CIJ.
Áp dụng bổ đề ta suy ra CK=IJ cot ICJ=IJ cot(45)=IJ
b) Từ câu a, suy ra CK vuông góc IJ. Mặt khác ta cũng có D là điểm chính giữa cung AB.
Tham khảo công thức tính diện tích của tứ giác có 2 đường chéo vuông góc ở đây http://vforum.vn/diendan/showthread.php?90415-Dien-tich-hinh-tu-giac-co-2-duong-cheo-vuong-goc
Suy ra diện tích KIJD =1/2 KD.IJ=1/2 KD.KC=1/2 (R2 -OK2) ( do đây là phương tích của K với (O))
Như vậy ta cần tìm vị trí điểm C sao cho OK nhỏ nhất.
Mặt khác cho K là tâm nội tiếp của CAB suy ra DK=DA=DB. (có thể chứng minh được điều này bằng biến đổi góc)
Do đó OK+OD>=KD=DA=const, suy ra OK>=DA-R dấu bằng chỉ xảy ra khi K,O,D thẳng hàng, hay khi C,O,D thẳng hàng. tức C là điểm chính giữa cung AB.
